Тема 4. элементы математической статистики

Генеральная и выборочная совокупности [3, §6.2]. Статистическое распределение выборки [3, §6.3]. Числовые характеристики статистического распределения [3, §6.5]. Оценка неизвестных параметров [3, §7.1]. Понятие интервального оценивания параметров [3, §7.3]. Доверительные интервалы для параметров нормального распределения [3, §7.4]. Проверка статистических гипотез [3, §7.5].

Пример 7. Задана выборка значений признака имеющего нормальное распределение:

–2

Требуется: а) найти выборочную среднюю и исправленное среднее квадратическое отклонение б) указать доверительный интервал, покрывающий с надежностью неизвестное математическое ожидание признака в) указать доверительный интервал, покрывающий с надежностью среднее квадратическое отклонение признака

Решение: Вычислим объем выборки n:

Находим выборочную среднюю и исправленное среднее квадратическое отклонение

Доверительный интервал для математического ожидания имеет вид

где находится по таблице приложения 3 учебника [4]. При и Тогда искомый доверительный интервал имеет вид

или

Доверительный интервал для генерального среднего квадратического отклонения имеет вид

если и если

Значение находится по таблице приложения 4 учебника [4]. При и Тогда искомый доверительный интервал имеет вид

или


Задачи для контрольных работ

ВАРИАНТ 1

1. В первом ящике находятся белых и чёрных шара, а во втором – белых и чёрных шара. Из первого ящика переложили во второй два случайным образом выбранных шара. Затем из второго ящика достали один шар. Определить вероятности следующих событий:

1) в первом ящике останутся не более двух черных шаров;

2) из второго ящика извлекут белый шар;

3) шары, переложенные из первого ящика во второй, были разного цвета, если известно, что шар, извлеченный из второго ящика, оказался белым.

2. Вероятность наступления события в каждом из одинаковых и независимых испытаний равна В пунктах а), б) и в) найти вероятность того, что в этих испытаниях событие появится раз; в пункте г) найти вероятность того, что событие появится не менее раз и не более раз.

a) б)

в) г)

3. Задан закон распределения дискретной случайной величины Найти и Найти функцию распределения случайной величины Х и построить ее график.



–2 –0,5 0,5
0,1 0,2 0,25 0,25 0,2

4. Непрерывная случайная величина подчинена закону распределения с плотностью

Найти коэффициент функцию распределения числовые характеристики и вероятности

5. Станок-автомат изготовляет детали. Деталь считается годной, если отклонение ее контролируемого размера от проектного по абсолютной величине не превосходит мм. Считая, что случайная величина распределена нормально с математическим ожиданием и со средним квадратическим отклонением мм, найти, сколько процентов годных деталей изготовляет станок-автомат.

6. Найти уравнения прямой линии средней квадратической регрессии случайной величины на случайную величину и случайной величины на случайную величину по заданному закону двумерной случайной величины

X Y
0,01 0,02 0,04
4,8 0,01 0,03 0,06 0,02
5,6 0,04 0,06 0,08 0,02
6,4 0,02 0,06 0,08 0,03 0,01
7,2 0,01 0,04 0,12 0,10 0,01
0,01 0,06 0,04 0,02

7. Задана выборка значений признака имеющего нормальное распределение:

–5 –4

Требуется: а) найти выборочную среднюю и исправленное среднее квадратическое отклонение б) указать доверительный интервал, покрывающий с надежностью неизвестное математическое ожидание признака в) указать доверительный интервал, покрывающий с надежностью среднее квадратическое отклонение признака




ВАРИАНТ 2

1. В первом ящике находятся белых и чёрных шаров, а во втором – белых и чёрных шара. Из первого ящика переложили во второй два случайным образом выбранных шара. Затем из второго ящика достали один шар. Определить вероятности следующих событий:

1) в первом ящике останется не более одного белого шара;

2) из второго ящика извлекут черный шар;

3) шары, переложенные из первого ящика во второй, были черного цвета, если известно, что шар, извлеченный из второго ящика, оказался черным.

2. Вероятность наступления события в каждом из одинаковых и независимых испытаний равна В пунктах а), б) и в) найти вероятность того, что в этих испытаниях событие появится раз; в пункте г) найти вероятность того, что событие появится не менее раз и не более раз.

a) б)

в) г)

3. Задан закон распределения дискретной случайной величины Найти и Найти функцию распределения случайной величины Х и построить ее график.

–3 –2
0,05 0,2 0,2 0,35 0,2

4. Непрерывная случайная величина подчинена закону распределения с плотностью

Найти коэффициент функцию распределения числовые характеристики и вероятности

5. Станок-автомат изготовляет детали. Деталь считается годной, если отклонение ее контролируемого размера от проектного по абсолютной величине не превосходит мм. Считая, что случайная величина распределена нормально с математическим ожиданием и со средним квадратическим отклонением мм, найти, сколько процентов годных деталей изготовляет станок-автомат.

6. Найти уравнения прямой линии средней квадратической регрессии случайной величины на случайную величину и случайной величины на случайную величину по заданному закону двумерной случайной величины

X Y
0,01 0,02 0,04
7,2 0,01 0,03 0,06 0,02
8,4 0,04 0,06 0,08 0,02
9,6 0,02 0,06 0,08 0,03 0,01
10,8 0,01 0,04 0,12 0,10 0,01
0,01 0,06 0,04 0,02

7. Задана выборка значений признака имеющего нормальное распределение:

–7 –6 –4

Требуется: а) найти выборочную среднюю и исправленное среднее квадратическое отклонение б) указать доверительный интервал, покрывающий с надежностью неизвестное математическое ожидание признака в) указать доверительный интервал, покрывающий с надежностью среднее квадратическое отклонение признака


ВАРИАНТ 3

1. В первом ящике находятся белых и чёрных шара, а во втором – белых и чёрных шара. Из первого ящика переложили во второй два случайным образом выбранных шара. Затем из второго ящика достали один шар. Определить вероятности следующих событий:

1) в первом ящике останутся не более трех черных шаров;

2) из второго ящика извлекут белый шар;

3) шары, переложенные из первого ящика во второй, были белого цвета, если известно, что шар, извлеченный из второго ящика, оказался белым.

2. Вероятность наступления события в каждом из одинаковых и независимых испытаний равна В пунктах а), б) и в) найти вероятность того, что в этих испытаниях событие появится раз; в пункте г) найти вероятность того, что событие появится не менее раз и не более раз.

a) б)

в) г)

3. Задан закон распределения дискретной случайной величины Найти и Найти функцию распределения случайной величины Х и построить ее график.

0,25 0,2 0,1 0,2 0,25

4. Непрерывная случайная величина подчинена закону распределения с плотностью

Найти коэффициент функцию распределения числовые характеристики и вероятности

5. Станок-автомат изготовляет детали. Деталь считается годной, если отклонение ее контролируемого размера от проектного по абсолютной величине не превосходит мм. Считая, что случайная величина распределена нормально с математическим ожиданием и со средним квадратическим отклонением мм, найти, сколько процентов годных деталей изготовляет станок-автомат.

6. Найти уравнения прямой линии средней квадратической регрессии случайной величины на случайную величину и случайной величины на случайную величину по заданному закону двумерной случайной величины

X Y
0,01 0,02 0,04
9,6 0,01 0,03 0,06 0,02
11,2 0,04 0,06 0,08 0,02
12,8 0,02 0,06 0,08 0,03 0,01
14,4 0,01 0,04 0,12 0,10 0,01
0,01 0,06 0,04 0,02

7. Задана выборка значений признака имеющего нормальное распределение:

–5 –4

Требуется: а) найти выборочную среднюю и исправленное среднее квадратическое отклонение б) указать доверительный интервал, покрывающий с надежностью неизвестное математическое ожидание признака в) указать доверительный интервал, покрывающий с надежностью среднее квадратическое отклонение признака


ВАРИАНТ 4

1. В первом ящике находятся белых и чёрных шаров, а во втором – белый и чёрных шаров. Из первого ящика переложили во второй два случайным образом выбранных шара. Затем из второго ящика достали один шар. Определить вероятности следующих событий:

1) в первом ящике останутся не более четырех белых шаров;

2) из второго ящика извлекут черный шар;

3) шары, переложенные из первого ящика во второй, были черного цвета, если известно, что шар, извлеченный из второго ящика, оказался черным.

2. Вероятность наступления события в каждом из одинаковых и независимых испытаний равна В пунктах а), б) и в) найти вероятность того, что в этих испытаниях событие появится раз; в пункте г) найти вероятность того, что событие появится не менее раз и не более раз.

a) б)

в) г)

3. Задан закон распределения дискретной случайной величины Найти и Найти функцию распределения случайной величины Х и построить ее график.

–1
0,15 0,05 0,5 0,1 0,2

4. Непрерывная случайная величина подчинена закону распределения с плотностью

Найти коэффициент функцию распределения числовые характеристики и вероятности

5. Станок-автомат изготовляет детали. Деталь считается годной, если отклонение ее контролируемого размера от проектного по абсолютной величине не превосходит мм. Считая, что случайная величина распределена нормально с математическим ожиданием и со средним квадратическим отклонением мм, найти, сколько процентов годных деталей изготовляет станок-автомат.

6. Найти уравнения прямой линии средней квадратической регрессии случайной величины на случайную величину и случайной величины на случайную величину по заданному закону двумерной случайной величины

X Y
0,01 0,02 0,04
2,4 0,01 0,03 0,06 0,02
2,8 0,04 0,06 0,08 0,02
3,2 0,02 0,06 0,08 0,03 0,01
3,6 0,01 0,04 0,12 0,10 0,01
0,01 0,06 0,04 0,02

7. Задана выборка значений признака имеющего нормальное распределение:

–3 –2

Требуется: а) найти выборочную среднюю и исправленное среднее квадратическое отклонение б) указать доверительный интервал, покрывающий с надежностью неизвестное математическое ожидание признака в) указать доверительный интервал, покрывающий с надежностью среднее квадратическое отклонение признака


ВАРИАНТ 5

1. В первом ящике находятся белых и чёрных шаров, а во втором – белых и чёрных шаров. Из первого ящика переложили во второй два случайным образом выбранных шара. Затем из второго ящика достали один шар. Определить вероятности следующих событий:

1) в первом ящике останется не более семи черных шаров;

2) из второго ящика извлекут белый шар;

3) шары, переложенные из первого ящика во второй, были белого цвета, если известно, что шар, извлеченный из второго ящика, оказался белым.

2. Вероятность наступления события в каждом из одинаковых и независимых испытаний равна В пунктах а), б) и в) найти вероятность того, что в этих испытаниях событие появится раз; в пункте г) найти вероятность того, что событие появится не менее раз и не более раз.

a) б)

в) г)

3. Задан закон распределения дискретной случайной величины Найти и Найти функцию распределения случайной величины Х и построить ее график.

–2
0,1 0,2 0,4 0,2 0,1

4. Непрерывная случайная величина подчинена закону распределения с плотностью

Найти коэффициент функцию распределения числовые характеристики и вероятности

5. Станок-автомат изготовляет детали. Деталь считается годной, если отклонение ее контролируемого размера от проектного по абсолютной величине не превосходит мм. Считая, что случайная величина распределена нормально с математическим ожиданием и со средним квадратическим отклонением мм, найти, сколько процентов годных деталей изготовляет станок-автомат.

6. Найти уравнения прямой линии средней квадратической регрессии случайной величины на случайную величину и случайной величины на случайную величину по заданному закону двумерной случайной величины

X Y
0,01 0,02 0,04
10,8 0,01 0,03 0,06 0,02
12,6 0,04 0,06 0,08 0,02
14,4 0,02 0,06 0,08 0,03 0,01
16,2 0,01 0,04 0,12 0,10 0,01
0,01 0,06 0,04 0,02

7. Задана выборка значений признака имеющего нормальное распределение:

–5 –4

Требуется: а) найти выборочную среднюю и исправленное среднее квадратическое отклонение б) указать доверительный интервал, покрывающий с надежностью неизвестное математическое ожидание признака в) указать доверительный интервал, покрывающий с надежностью среднее квадратическое отклонение признака


ВАРИАНТ 6

1. В первом ящике находятся белых и чёрных шаров, а во втором – белый и чёрных шаров. Из первого ящика переложили во второй два случайным образом выбранных шара. Затем из второго ящика достали один шар. Определить вероятности следующих событий:

1) в первом ящике останутся не более шести черных шаров;

2) из второго ящика извлекут черный шар;

3) шары, переложенные из первого ящика во второй, были белого цвета, если известно, что шар, извлеченный из второго ящика, оказался черным.

2. Вероятность наступления события в каждом из одинаковых и независимых испытаний равна В пунктах а), б) и в) найти вероятность того, что в этих испытаниях событие появится раз; в пункте г) найти вероятность того, что событие появится не менее раз и не более раз.

a) б)

в) г)

3. Задан закон распределения дискретной случайной величины Найти и Найти функцию распределения случайной величины Х и построить ее график.

–1,5 –1 1,5
0,1 0,1 0,6 0,1 0,1

4. Непрерывная случайная величина подчинена закону распределения с плотностью

Найти коэффициент функцию распределения числовые характеристики и вероятности

5. Станок-автомат изготовляет детали. Деталь считается годной, если отклонение ее контролируемого размера от проектного по абсолютной величине не превосходит мм. Считая, что случайная величина распределена нормально с математическим ожиданием и со средним квадратическим отклонением мм, найти, сколько процентов годных деталей изготовляет станок-автомат.

6. Найти уравнения прямой линии средней квадратической регрессии случайной величины на случайную величину и случайной величины на случайную величину по заданному закону двумерной случайной величины

X Y
0,01 0,02 0,04
1,2 0,01 0,03 0,06 0,02
1,4 0,04 0,06 0,08 0,02
1,6 0,02 0,06 0,08 0,03 0,01
1,8 0,01 0,04 0,12 0,10 0,01
0,01 0,06 0,04 0,02

7. Задана выборка значений признака имеющего нормальное распределение:

–4 –2 –1

Требуется: а) найти выборочную среднюю и исправленное среднее квадратическое отклонение б) указать доверительный интервал, покрывающий с надежностью неизвестное математическое ожидание признака в) указать доверительный интервал, покрывающий с надежностью среднее квадратическое отклонение признака


ВАРИАНТ 7

1. В первом ящике находятся белых и чёрных шара, а во втором – белых и чёрных шаров. Из первого ящика переложили во второй два случайным образом выбранных шара. Затем из второго ящика достали один шар. Определить вероятности следующих событий:

1) в первом ящике останется не более одного черного шара;

2) из второго ящика извлекут белый шар;

3) шары, переложенные из первого ящика во второй, были белого цвета, если известно, что шар, извлеченный из второго ящика, оказался белым.

2. Вероятность наступления события в каждом из одинаковых и независимых испытаний равна В пунктах а), б) и в) найти вероятность того, что в этих испытаниях событие появится раз; в пункте г) найти вероятность того, что событие появится не менее раз и не более раз.

a) б)

в) г)

3. Задан закон распределения дискретной случайной величины Найти и Найти функцию распределения случайной величины Х и построить ее график.

0,38 0,26 0,2 0,14 0,02

4. Непрерывная случайная величина подчинена закону распределения с плотностью

Найти коэффициент функцию распределения числовые характеристики и вероятности

5. Станок-автомат изготовляет детали. Деталь считается годной, если отклонение ее контролируемого размера от проектного по абсолютной величине не превосходит мм. Считая, что случайная величина распределена нормально с математическим ожиданием и со средним квадратическим отклонением мм, найти, сколько процентов годных деталей изготовляет станок-автомат.

6. Найти уравнения прямой линии средней квадратической регрессии случайной величины на случайную величину и случайной величины на случайную величину по заданном


3046207043473368.html
3046270101521001.html
    PR.RU™